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Gimbal Lock and Quaternion

• 万向锁的问题可以用头来辅助理解。当仰头90度望天的时候，左右转头（原来的yaw）和之前的歪头(roll)就完全一样了。
• 但是举例理解容易hacking，万向锁的含义在GPT和不少帖子里面都解释得只见树木不见森林，令人摸不着头脑（也许是因为我太笨了qaq）。更令人信服的是用线代的旋转矩阵。
  • roll, pitch, yaw表示的是绕着外部$x, y, z$轴旋转的角度。数学推出来之后，其含义就是当pitch取90度时，yaw和roll会作用到同一个外部自由度上，从数学上来看，问题的核心在于选择的是固定的旋转顺序，3D中的旋转一般是不能交换的。推导如下：
  • 小学二年级就学过的旋转矩阵一份(这里只考虑外旋咯，内旋外旋的公式为什么互逆我还没搞明白)： $$ R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \ \end{bmatrix} $$ $$ R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \ \end{bmatrix} $$ $$ R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ \end{bmatrix} $$
  • $$ R(yaw, \frac{\pi}{2}, roll) = R_z(yaw)R_y(\frac{\pi}{2})R_x(roll) \ = R_z(yaw - roll)R_y(\frac{\pi}{2})$$
  • $$ R(yaw, \frac{\pi}{2}, roll) = R_x(roll)R_y(\frac{\pi}{2})R_z(yaw) \ = R_x(yaw + roll)R_y(\frac{\pi}{2})$$
  • 最后的结果中我们只得到了两个自由度，做出旋转之后z轴的旋转效果永远只能停留在外部的x轴上